Rätsel

[Elric]

Nachdem das Topic "IQ des Forums" so lang ist, hier mal eine Frage zum Testen:

Zu finden sind zwei natürliche Zahlen, die beide echt zwischen l und 100 liegen. Eine Person, im folgenden "Herr Produkt" genannt, kennt das Produkt der beiden Zahlen, eine andere Person, im folgenden "Herr Summe" genannt, kennt ihre Summe. Zwischen beiden Personen entwickelt sich der folgende Dialog:
Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."
Herr Summe: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, daß Sie sie nicht kennen."
Herr Produkt: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."
Herr Summe: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."
Welches sind die beiden Zahlen?

 

[Barclay]

Mann, mein IQ muss echt niedrig sein! Ich habe die Antwort nachgeschaut, verstehe aber nicht, wie man darauf kommt!

 

[Schoggi]

Hmmm ... ich habe eine Chance von 25%, dass ich zufällig auf das richtige tippe und dann ein Super-Genie bin. Besser als im Lotto! :hmm:

Ich grübel lieber noch ein bisschen. Aber irgendwie glaube ich, das ist nur eine verarsche, aber da Braclay offensichtlich die Lösung kennt, muss es auch eine geben.

Also ... :thinker:

EDIT: ICH HABS! Hab aber doch einige Minuten gebraucht, um es herauszufinden! Eigentlich ist es ganz leicht ...

Achja, ich werde die Lösung natürlich nicht voten, resp. bekanntgeben, wär ja auch unfair!

@Elric: Soll ich dir meine Lösung mailen?

@Archi: Mindestens du solltest es auch rausfinden!

 

[Elric]

@Schoggi: Die Lösung ist gerne gesehen, schick mir mal was, denn viele hatten bei mir zwar die richtige Antwort aber den falschen Weg...

 

[pumpernus]

na was ist da nun, kommt noch die auflösung, damit wir alle einwenig gescheiter werden?

 

[Robert T. Norad]

@Elric:
Hast du meine Persönliche Message mit dem (von mir vermuteten) Lösungsweg bekommen?

 

[Jenny_[cursed]]

Hi

Ich hab keine Ahnung davon wie das geht oder was man da machen muß. Elric: schick mir bitte wie das geht oder wie man draufkommen kann, hab schon stundenlang überlegt aber das klingt nach mathematischer Gleichung meines erachtens und gleichungen haben wir nicht gelernt in der Schule.
Ich hab 3 und 5 geraten, weil das beides Primzahlen sind.

Greetings Beamie

Mail bitte an: webmaster@startrek-enterprise.at

 

[Robert T. Norad]

@Beamie:
Wenn du das Produkt zweier Primzahlen kennst, was weißt du dann über die Faktoren?

 

[Jenny_[cursed]]

hi



du redest in einer Fremdsprache in meinen Augen. Wie schon gesagt wir haben in der Schule nicht besonders viel gemacht. Also eben +, - , *, :, Bruchrechnen und etwas Prozentrechnen. in meiner höheren SChule hatten wir nur in der 1. Klasse REchnen und für eine Firma braucht man keine Monstergleichungen oder so was ähnliches.

Greetigns Beamie

 

[Robert T. Norad]

Ich denke, ich verrate nicht zuviel, wenn ich dir sage, dass ein Produkt n aus den Primzahlen a und b (n = a * b) eindeutig auf die beiden Faktoren a und b schließen lässt.
Wenn du ein Produkt zweier Primzahlen kennst, weißt du auch, durch welche Multiplikation sie zu stande gekommen sind.
Hast du zum Beispiel die 35 und weißt, dass sie ein Produkt aus zwei ganz-zahligen positiven Zahlen ist, dann weißt du, dass die beiden Faktoren 5 und 7 sind.
Da aber Herr Produkt anfangs nicht die beiden Faktoren kennt, muss das heißen, dass es sich nicht um zwei Primzahlen handelt!
(oder Herr Produkt wusste das auch nicht... )
@Elric: Is' meine Lösung denn nun die, die du erwartet hast oder hast du eine andere. Lös' mal auf!

 

[Barclay]

@Robert T. Norad:
Aber dann bleiben doch immernoch zwei Lösungsmöglichkeiten übrig. 8 und 11 oder 4 und 13. Welches von den beiden Paaren ist nun das richtige und vor allem warum?

 

[Robert T. Norad]

Um ehrlich zu sein, wollte ich die Lösung noch nicht verraten. Ich dachte mir, wir warten noch ein bißchen, bis Elric es auflöst. Na ja, wenn er es nicht aufgelöst hat, bis ich wieder hier bin, poste ich meine Lösung!
Also holt euch schon mal: :cola: :corn:

 

[Jenny_[cursed]]

Hi

Ich denke, ich verrate nicht zuviel, wenn ich dir sage, dass ein Produkt n aus den Primzahlen a und b (n = a * b) eindeutig auf die beiden Faktoren a und b schließen lässt.
Wenn du ein Produkt zweier Primzahlen kennst, weißt du auch, durch welche Multiplikation sie zu stande gekommen sind.
Hast du zum Beispiel die 35 und weißt, dass sie ein Produkt aus zwei ganz-zahligen positiven Zahlen ist, dann weißt du, dass die beiden Faktoren 5 und 7 sind.
Da aber Herr Produkt anfangs nicht die beiden Faktoren kennt, muss das heißen, dass es sich nicht um zwei Primzahlen handelt!
(oder Herr Produkt wusste das auch nicht... )

Sag aml welche Sprache istdas in der du da redest???

Überhaupt ncihts kapier

Beamie

 

[Robert T. Norad]

Sag aml welche Sprache istdas in der du da redest???

Überhaupt ncihts kapier

Also:

• Thema 1: Die Multiplikation
  
  n = a * b
  
  Spich: n ist das Produkt aus den Faktoren a und b! (n = Produkt; a = Faktor; b = Faktor)
  
  Beispiel: Du arbeitest in einem Supermarkt und bekommst pro Stunde 15 DM (ca. 7,67 € ). Arbeitest du 8 Stunden, so erhälst du insgesamt n = a * b = 15 DM/h * 8 h = 15 * 8 DM = 120 DM (ca. 61,36 € )!
  
• Thema 2: Faktorenzerlegung
  
  Bei der Faktorenzerlegung versucht man eine Zahl so lange in Faktoren zu zerlegen (zurückmultiplizieren), bis nur noch Primzahlen übrig sind.
  Hast du anfangs die Zahl n, so versuchst du, sie in Faktoren a und b mit n = a * b zu zerlegen.
  Diese Faktoren a und b versuchst du wiederum auf die gleiche Weise zu zerlegen.
  Dies funktioniert so lange, bis als Faktoren nur noch Primzahlen vorhanden sind. Jede Zahl hat eine eindeutige Primzahlfaktorenzerlegung und jede Angabe der Primzahlenfaktorenzerlegung lässt eindeutig auf das Produkt schließen.
  
  Beispiel:n = 120
  = 2 * 60
  = 2 * 2 * 30
  = 2 * 2 * 2 * 15
  = 2 * 2 * 2 * 3 * 5
  Der Zahl 120 ist also die Primzahlfaktorenzerlegung 2 * 2 * 2 * 3 * 5 zugeordnet, die wiederum eindeutig auf 120 zurückgeführt werden kann!

Zu der Aufgabe:

• Lösungsmöglichkeit 1: a = 3 und b = 5 => n = 3 * 5 = 15
  Kennt man n, so weiß man auch, wie a und b beschaffen sein müssen, da es keine andere Multiplikation zweier ganzzahliger positiver Faktoren gibt, deren Ergebnis 15 ist.
  => Herr Produkt wüßte also von Anfang an über a und b Bescheid!
  => Widerspruch mit der Aufgabenstellung
  
• Lösungsmöglichkeit 2: a = 2 und b = 7 => n = 2 * 7 =14
  Auch 14 hat eine eindeutige Primzahlenfaktorenzerlegung in genau zwei Primzahlfaktoren (2 und 7). Daher existiert auch hier nur eine mögliche Multiplikation.
  => Herr Produkt wüßte also von Anfang an über a und b Bescheid!
  => Widerspruch mit der Aufgabenstellung
  
• Lösungsmöglichkeit 3:
  a = 8 und b = 11 => n = 8 * 11 = 88
  = 2 * 44
  = 2 * 2 * 22
  = 2 * 2 * 2 * 11
  Da n = a * b gilt, können folgende Möglichkeiten vorliegen:
  a = 2 und b = 44; a = 4 und b = 22 oder a = 8 und b = 11. Es existieren also mehrere mögliche Multiplikationen zweier positiver Ganzzahlen, die zum Ergebnis 88 führen.
  => Herr Produkt wüßte also anfangs nicht über a und b Bescheid!
  => kein Widerspruch mit der Aufgabenstellung
  
• Lösungsmöglichkeit 4:
  a = 4 und b = 13 => n = 4 * 13 = 52
  = 2 * 26
  = 2 * 2 * 13
  Da n = a * b gilt, können folgende Möglichkeiten vorliegen:
  a = 2 und b = 26 oder a = 4 und b = 13!
  Es existieren also mehrere mögliche Multiplikationen zweier positiver Ganzzahlen, die zum Ergebnis 52 führen.
  => Herr Produkt wüßte also anfangs nicht über a und b Bescheid!
  => kein Widerspruch mit der Aufgabenstellung

@Beamie:
Ich hoffe, dass war verständlich!

 

[Jenny_[cursed]]

Hi

das multiplizieren ist ja ncoh einfach, aber das faktoren dingsda ist mir zu hoch. bin ich froh das wir das nciht in Mathe gemacht haben. *schwitz*

Greetings Beamie

 

[Robert T. Norad]

@Barclay:
Ach, was soll's. Dann mal meine Lösung (wie immer ohne Gewähr...)

Also Lösungsmöglichkeiten 1 und 2 schließen wir aus, da sonst Satz 1 der Aufgabe unerfüllt wäre! (siehe dazu die Posts etwas weiter oben)
Zur Erinnerung:

Satz 1, original erstellt by Elric, the QuizMaster:
Herr Produkt: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."

Satz 2, original erstellt by Elric, the QuizMaster:
Herr Summe: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, daß Sie sie nicht kennen."

Wenden wir uns Satz 2 zu!
Herr Summe kennt die Summe s = a + b, weiß aber, dass Herr Produkt die beiden Zahlen a und b genauso wenig kennt wie er, obwohl er ihr Produkt n = a * b kennt.
Da Herr Summe weiß, dass Herr Produkt die Faktoren nicht kennt, muss er (Herr Summe) wissen, dass eine Multiplikation zweier Faktoren vorliegt, die nicht beide eine Primzahl sein können (das gleiche Kriterium, an dem Lösung 1 und 2 gescheitert sind).
Daher darf keine aufgrund der Summe s = a' + b' mögliche Lösung a' und b' aus zwei Primzahlen bestehen.
Also testet man dieses aus!

• Lösungsmöglichkeit 3:a = 8 und b = 11 => s = 8 + 11 = 19
  Mögliche Zerlegungen:
  19 = 1 + 18: 18 = 2 * 3 * 3 => OK
  19 = 2 + 17: zwei Primzahlen => Widerspruch
  Wären a = 8 und b = 11, dann wäre ihre Summe s = a + b = 19, somit könnte eine mögliche Zerlegung 19 = 2 + 17 sein, was allerdings ein eindeutig zerlegbares Produkt (34 = 2 * 17) liefert. Somit könnte Herr Summe nicht mit Bestimmtheit sagen, dass herr Produkt die beiden Faktoren nicht kennt. Also kann dies nicht die Lösung sein!
  
• Lösungsmöglichkeit 4:
  a = 4 und b = 13 => s = 4 + 13 = 17
  Mögliche Zerlegungen:
  17 = 1 + 16: 16 = 2 * 2 * 2 * 2
  17 = 2 + 15: 15 = 3 * 5
  17 = 3 + 14: 14 = 2 * 7
  17 = 4 + 13: 4 = 2 * 2
  17 = 5 + 12: 12 = 2 * 2 * 3
  17 = 6 + 11: 6 = 2 * 3
  17 = 7 + 10: 10 = 2 * 5
  17 = 8 + 9: 8 = 2 * 2 * 2 und 9 = 3 * 3
  
  Daher liefert jede Zerlegung der Summe 17 in zwei Summanden zwei "Nicht-Primzahlen" und somit weiß Herr Summe, dass Herr Produkt die Lösung nicht kennt...

Tja, das war doch eigentlich ganz einfach... :dead:

Wer etwas noch nicht verstanden hat oder einen Fehler gefunden hat, der kontaktiere mich bitte oder erkundschaftet bei Elric eine einfachere Lösung.

@Beamie:
Irgendwie drücke ich mich tatsächlich leicht kompliziert aus, oder?

 

[Elric]

tut mir echt leid, dass ich so lange mit der lösung auf mich warten habe lassen...
leider habe ich sie im betrieb liegen gelassen und auswendig bekomme ich sie nicht mehr genau zusammen.
Ich werde sie aber in den nächsten tagen posten *schäm*

 

[Elric]

Nun für alle, die eine alternative Erklärung brauchen:

1. Schritt: Herr Produkt kennt die Zahlen nicht, daß heißt, daß das Produkt nicht eindeutig aus zwei Zahlen besteht. Dadurch scheidet Antwort 1 aus (3x5 = 15 und 15 kann nur durch das Produkt von 3 und 5 erreicht werden (ganze natürliche Zahlen größer 1 und kleiner 100)). Daher scheidet auch Antwort 2 aus, da für 2x7 = 14 das gleiche gilt. Antwort 3 und 4 scheiden nicht aus 8 x 11 = 88 auch aus 4 x 22 und 2 x 44 zusammengesetzt werden kann. 4 x 13 = 52 kann auch aus 2 x 26 zusammengesetzt werden.
Fazit soweit: Herr Produkt beschränkt sich auf die Zahlenkombinationen 8 und 11; 4 und 22; 2 und 44; 4 und 13; 2 und 26

2. Schritt: Herr Summe kann die Zahlen auch nicht eindeutig identifizieren und er wußte, daß Herr Produkt es auch nicht kann. D.h., er weiß, daß seine Summe aus Summanden besteht, die ausschließlich zu nicht eindeutigen Produkten führen.

8 + 11 = 19 Die Summe kann auch aus 2 und 17; 3 und 16; 4 und 15 usw. gebildet werden. 2 x 17 = 34 kann aber nicht anders geteilt werden. Dadurch wäre es bei dieser Kombination nicht zu Aussage 1 gekommen.

4 + 13 = 17 Die Summe kann auch aus 2 und 15; 3 und 14; 5 und 12; 6 und 11; 7 und 10 usw. gebildet werden. Hierbei ergeben sich immer Produkte, die auch aus anderen Faktoren zusammengesetzt sein können.
Fazit soweit: Herr Summe kennt die Summe 17, weiß aber noch nicht wie sich diese Summe zusammensetzt.

3. Schritt: Herr Produkt untersucht nun die für ihn noch möglichen Kombinationen. 8 + 11 = 19; 4 + 22 = 26; 2 + 44 = 46; 4 + 13 = 17; 2 + 26 = 28. Alleine für 4 + 13 = 17 gilt, daß die Zahlen Herrn Summe zu seiner Aussage bewegen konnte.

Fazit soweit: Herr Produkt weiß die Lösung: Antwort 4

4. Schritt: Da Herr Produkt eine Antwort weiß, also es möglich war, aus dem bisher gesagten zu einem Ergebnis zu kommen. Herr Summe muß also die Kombinationen aus dem zweiten Schritt untersuchen, ob bei diesen mit allen Informationen eine einzige Lösung bleibt. Das ist alleine bei 4 und 13 der Fall, daher weiß auch er jetzt die Lösung.