Umkehrfunktionen

F

Falke

Guest
Kann mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen?

Für welche Funktionen y = mx + n ist die Umkehrfunktion gleich der Ausgangsfunktion?
 
  • Ausgangsfunktion A(x): A(x): y = m * x + n
  • Umstellen:
    y - n = m * x
    x = (y - n) / m
  • Umkehrfunktion U(x):
    U(x): y = (x - n) / m = (x / m) - (n / m)
  • Bedingung für A(x)=U(x) (für alle x):
    A(x) = U(x) <=> m * x + n = (x / m) - (n / m)
    Die Formel besteht aus einem unbestimmten Ausdruck (die Variable (mit Faktor); datt mit dem x) und einem bestimmten Ausdruck (die Konstante; datt mit dem n).
    Da für alle x A(x) = U(x) gelten soll, muss jeweils der unbestimmte Ausdruck gleich sein und auch der bestimmte Ausdruck! Also:
    m * x = x / m und n = - (n / m)
    Durch Umstellen ergibt sich:
    m² = 1 und 1 = - (1 / m) und daher m = -1!
  • Ergebnis:
    Für alle Funktionen f(x) mit y = -x + n [= -1 * x + n] gilt, dass die Umkehrfunktion gleich der Ausgangsfunktion ist.
  • Probe:
    f(x): y = -x + n
    y - n = -x
    x = -y + n
    u(x): y = -x + n = f(x)
Ich hoffe, das hilft dir weiter... :D
 
Ich verstehe zwar nicht, was Robert T. Norad geschrieben hat, aber ich würde sagen, dass die Funktionenschar y = m*x + n genau 2 Funktionen enthält, die mit ihrer Umkehrfunktion identisch sind. Nämlich
y = x (also mit m=1 und n=0)und
y = -x (also mit m=-1 und n=0)
 
Da fällt mir ein, dass man y=-x auch noch auf der Spiegelachse verschieben kann. dann gibt es also unendlich viele Lösungen, nämlich
y=x und
y=-x+n

Damit sind wir quasi wieder bei Robert T. Norads Lösung.
 
Stimmt! Ich habe außer acht gelassen, dass n = -n / m nur für n <> 0 m = -1 ergibt. Für n = 0 ist diese Gleichung immer erfüllt, so dass nur auf die andere (m² = 1) geachtet werden muss und die liefert zwei Lösungen!
Kurzum: Ich habe die Lösung y = x schlichtweg übersehen. Übel, übel. :eek:
Aber zum Glück gibt es noch Gecko! :)
 
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